VEKTOR
DAN SISTEM KOORDINAT CARTESIAN
TUGAS
MATA KULIAH
MEDAN
ELEKTROMAGNETIK
DISUSUN OLEH :
TRI
SETIYO UTOMO
UNIVERSITAS
NEGERI MALANG
FAKULTAS TEKNIK
PENDIDIKAN TEKNIK ELEKTRO 2011
JANUARI 2012
1.
VEKTOR
a.Pengertian Besaran Vektor dan
Besaran Skalar
Besaran
dibagi menjadi 2 yaitu besaran skalar dan besaran vektor.
·
Skalar
adalah besaran yang dicirikan sepenuhnya oleh besarnya (magnitude)
Contoh
: masssa, panjang, waktu, suhu, intensitas cahaya, energi, muatan listrik
dsb.
·
Vektor
adalah besaran yang dicirikan oleh besar (magnitude) dan arah
Contoh
: berat, gaya, kecepatan, medan listrik, medan magnet, kuat medan listrik,
percepatan gravitasi, dsb.
b. Notasi dan Aljabar Vektor
Besaran
vektor dinotasikan dengan memakai simbol huruf tebal/huruf besar/huruf
besar
atau kecil yang di garis atasnya, sedangkan untuk vektor satuan (vektor dengan
harga
absolut/magnitude) dinyatakan dengan huruf kecil yang di tebalkan.
v Simbol
vektor : A atau A atau A atau a
v Simbol
vektor satuan : aA atau a atau ax
**
note : permisalan vektor A
Secara
grafis vector digambarkan dengan segmen garis berarah (anak panah). Panjang
segmen
garis (pada skala yang sesuai) menyatakan besar vector dan anak panah
menunjukkan
arah vector. Berikut ini merupakan contoh penggambaran vector A danB. Hasil
penjumlahan Vektor A dan B atau A + B ditunjukkan dengan hukum jajaran
genjang.
A B
A+B
Gambar
1.
Penggambaran
vector secara grafis
Vektor satuan
dalam arah vektor A dapat ditentukan dengan membagi A dengan
nilai absolutnya
:
aA =A
|A|
dimana |A| = A
= √Ax∙Ay
Pada Aljabar
vektor, ada beberapa peraturan baik itu pada penjumlahan,
pengurangan
maupun perkalian. Aturan operasi vektor direpresentasikan dalam
hukum mataematis
sebagai berikut :
·
Hukum
komutatif A + B = B + A
·
Hukum
asosiatif A + (B+C) = (A+B) + C
·
Hukum asosiatif distributif ( perkalian
vektor dengan skalar):
(r + s)(A+B)
= r(A+B) + s(A+B) = rA + rB + sA +
sB
2. Sistem
Koordinat
Vektor adalah besaran
yang ditentukan oleh besar dan arahnya. Dalam aplikasinya
vector selalu
menempati ruang. Untuk menjelaskan fenomena vector di dalam ruang
dapat digunakan
bantuan system koordinat untuk menjelaskan besar dan arah
vector. Ada
banyak sistem koordinat yang dikembangkan tetapi dalam materi ini
hanya 3 koordinat yang akan dibahas.
a. Koordinat
Cartesian
Koordinat
kartesian digunakan untuk menyatakan suatu benda yang memiliki
bentuk
siku seperti garis lurus, bidang datar siku dan ruang siku-siku. Bentuk-bentuk
siku
akan mudah digambarkan dalam koordinat kartesius baik 2 dimensi
maupun
3 dimensi.
Dalam
koordinat kartesius 2 dimensi terdiri dari 2 sumbu yaitu sumbu
horizontal
(mendatar) yaitu sumbu x dan sumbu tegak (vertical) yaitu sumbu y.
untuk lebih jelasnya
dapat dilihat pada gambar berikut ini :
Koordinat
kartesius 2 dimensi digunakan untuk menggambarkan objek 1 dimensi
dan 2 dimensi.
Contoh objek satu dimensi yaitu garis baik garis lurus maupun
garis lengkung.
Sedangkan contoh objek 2 dimensi yaitu bidang datar. Objek 1
dimensi dan 2
dimensi dapat digambarkan pada koordinat 3 dimensi dengan baik,
sedangkan untuk objek 3 dimensi harus
digambarkan pada koordinat 3 dimensi.
Koordinat
Kartesius 3 Dimensi
Koordinat
kartesius 3 dimensi digunakan untuk menggambarkan suatu objek baik
1 dimensi, 2
dimensi maupun 3 dimensi. Koordinat kartesius 3 dimensi
mempunyai 3
sumbu koordinat yaitu sumbu x, y, dan z. Untuk lebih jelasnya
silahkan
perhatikan gambar berikut :
Sudut yang
dibentuk antar sumbu koordinat adalah 90º atau
dengan kata lain
sumbu x tegak
lurus dengan sumbu y dan sumbu z, demikian juga sumbu y tegak
lurus dengan
sumbu x dan z dan juga sumbu z tegak lurus dengan sumbu x dan
sumbu y.
Gambar
5. vector dalam koordinat kartesius 3 dimensi
2. Koordinat
silindris
Tidak semua
benda mempunyai bentuk siku-siku seperti balok, kubus, bujur
sangkar, dan
bentuk-bentuk siku lainnya. Benda-benda seperti tabung, botol, pipa,
tampat sampah,
kerucut memiliki bentuk lingkaran dengan simetri yang khas.
Bentuk-bentuk
seperti ini akan susah untuk digambarkan pada koordinat kartesius
karena simetri
lingkaran sulit untuk digambarkan.
Atas dasar
inilah muncullah ide untuk mengembangkan system koordinat untuk
benda-benda seperti ini yaitu dengan
membuat koordinat silinder. Koordinat silinder terdiri dari 3 sumbu koordinat
yaitu koordinat r, f,
dan z.
Tiga
Unit vektor satuan sumbu r,ɸ,dan z adalah sebagai berikut :
·
Ar
= r aɸ
= ɸ az
= z
·
|ar|=
1 |aɸ|
= 1 |az|=
1
Dengan
operasi sebagai berikut :
·
ar
x aɸ = az aɸ
x ar = -az
·
aɸ
x az = ar az x az = -ar
·
az
x ar = aɸ ar
x az = -aɸ
Konversi dari koordinat silinder
ke koordinat kartesius adalah sebagai berikut :
x
= r cos ɸ, y = r sin ɸ, z = z
Konversi
dari koordinat kartesius ke silinder adalah sebagai berikut :
r
=
x2
+ y2
Z
= Z
Contoh visualisi
penggambaran objek dalam koordinat silinder untuk
kasus, r
konstan, f konstan dan z konstan. Dari gambar ini
dapat dibayangkan kirakira
suatu objek yang menempati koordinat
silinder akan seperti pada gambar di bawah ini.
3. Koordinat
bola
Koordinat bola
digunakan untuk menyatakan suatu objek yang mempunyai
bentuk simetri
bola. Sebagai contoh adalah bumi yang kita tempati. Posisi atau
kedudukan
objek-objek yang berada dibumi akan sulit dijelaskan dengan
koordinat
kartesius maupun tabung karena bentuk bumi yang bundar. Oleh karena
itu digunakan
system koordinat bola agar mudah dibayangkan. Untuk menyatakan
besaran vektor, koordinat bola menggunakan
3 sumbu koordinat yaitu r,θ , dan f.
Vektor
satuan dalam arah r, θ, ɸ :
·
aR = R aθ = θ aɸ = ɸ
·
|aR|= 1 |aθ|= 1 |aɸ|=
1
Dengan
opersi sebagai berikut :
·
AR x aθ = aɸ aθ x aR
= -aZ
·
aθ x aɸ = aR
aɸ
x aθ = -aR
·
aɸ x aR
= aθ aR
x aɸ = -aθ
·
Vektor pada koordinat bola dapat
dinyatakan dengan
A = aR
AR + aθAθ +aɸAɸ
·
Konversi koordinat bola ke koordinat
kartesian:
X = R sin θ cos ɸ
Y = R sin θ sin ɸ
https://www.youtube.com/playlist?list=PLN0V2Fcz8lEUZvnHYeAbIyv4UCNiPfuRD
BalasHapus